Matemáticas

El drama de integrar

 

Introducción

Este es el nivel básico del cálculo de primitivas después de las integrales que se obtienen directamente a partir de la tabla de derivadas.

Las llamamos inmediatas ya que el método que usaremos consiste en, teniendo en cuenta las derivadas elementales (las de la tabla), conseguir en el integrando una función multiplicada por su derivada. De este modo, por la regla de la cadena, la primitiva es dicha función.

Por tanto, necesitamos conocer las derivadas elementales, las reglas de derivación y la regla de la cadena y las propiedades de las integrales.

Recordatorio

  • Definición de primitiva:

Las primitivas de una función F(x)F(x) se representan por

∫F(x)dx∫F(x)dx

Son el conjunto de funciones f(x)f(x) cuyas derivadas son iguales a F(x)F(x). Es decir, f(x)f(x) es una primitiva de F(x)F(x) si f′(x)=F(x)f′(x)=F(x).

Hablamos en plural ya que, por ejemplo, f(x)=x2+1f(x)=x2+1 y g(x)=x2+2g(x)=x2+2son dos primitivas distintas de F(x)=2xF(x)=2x.

Nótese que la diferencia entre ambas primitivas es sólo una constante. Por ello, cuando calculamos una integral, siempre escribimos la constante de integración KK:

El símbolo ∫∫ se denomina signo integral y dxdx indica que la variable de integración es xx.

Ejemplos:

∫2yxdx=yx2+K∫2yxdx=yx2+K

∫2yxdy=y2x+K∫2yxdy=y2x+K

En la primera integral, tratamos la yy como una constante, integrando respecto de xx. En la segunda, es al contrario.

Propiedades de las integrales:

  • Integral de una Suma

Es decir, la integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de ambas funciones.

  • Producto por una constante

Es decir, las constantes (números o parámetros; o factores que no sean función de x) salen fuera de la integral multiplicándola.

Esta propiedad será útil tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, pues en ocasiones necesitamos en el integrando un número en concreto para aplicar la regla de la cadena, por lo que multiplicaremos y dividiremos la integral por este número y, aplicando la propiedad, podemos introducir el factor que multiplica (o rl que divide) en el integrando

Fuente: https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-integrales-inmediatas.htm

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